2.4 TAMAMLAYICI (KOMPLEMENTER) ARİTMETİĞİ
2.4.1 Tanım
Sayı sistemlerinde direkt çıkarma yapılabileceği gibi Tümleyen (Komplementer) yöntemiyle de çıkarma yapılabilir. Tümleyen (Komplementer) yöntemiyle çıkarma işlemi aslında bir toplama işlemidir. Bu işlemde bir üst basamaktan borç alınmaz.
Tümleyen aritmetiğini anlamanın en pratik yolu, taşıtlarda kullanılan kilometre sayacını göz önünde bulundurmaktır. Onlu sayı sisteminde çalışan kilometre sayaçları genelde beş basamaklıdır. 00000 başlangıç değerinden ileri doğru gidildiğinde 00001, 00002, 00003 gibi artarken, geriye doğru gidildiğinde sayacın değerleri 99999, 99998, 99997 gibi azalır. Bu sayaç örneğinde, bir adım ileri gidildiğinde 00001 ve bir adım geriye gidildiğinde 99999 değerine ulaştığından bu sayılara birbirinin tümleyeni denmektedir. Buna göre 00002 sayısının tümleyeni 99998 değeridir.
Her sayı sistemine ilişkin iki adet tümleyen (komplementer) bulunabilir. Bunlar; r sayı sisteminin tabanını göstermek üzere
1. r–1 Komplementer
2. r Komplementer
olarak gösterilebilir. Taban yerine konduğunda bu iki tümleyen Binary (İkili) sayılarda 1. ve 2. Tümleyen, Decimal (Onlu) sayılarda 9. ve 10. Tümleyen adını alır.
n basamaklı tamsayı ve m basamaklı kesirli kısmı bulunan bir sayının r-1 tümleyeni;
rn -r -m-N formülü ile bulunabilir.
Örnek 2.95 (52520)10 sayısının ‘r-1’ tümleyenini (9 tümleyenini) bulalım.
Sayının yalnızca tam sayı kısmı bulunduğundan,
rn-N-1 formülü
uygulanabilir. Taban = 10 ve basamak sayısı n = 5 olduğuna göre ilgili
formülden sonuç;
rn-N-1 = 105-52520-1=47479 olarak bulunur.
Örnek 2.96 (101100)2 sayısının ‘r-1’ tümleyenini (1 tümleyeni) bulunuz.
Verilen sayı ikili sistemde olduğundan r = 2 ve sayıda 6 basamak bulunduğundan n = 6’ dır. Bu durumda,
2n -N-1 = 26-101100-1 = 1000000-101100-1
= (010011)2 olarak bulunur.
Örnek 2.97 (25,639)10 sayısının 10 tümleyenini bulalım.
Tam sayı kısmı 2 basamaklı olduğundan sayının ‘r’ tümleyeni;
r = 10, n = 2 ve N=25,639 değerleri ile;
rn- N = 100-25,639 = 74,361 olarak bulunur.
Örnek 2.98 (72532-3250) sayısının sonucunu 9 tümleyeni kullanarak bulunuz.
03250 sayısının 9 tümleyeni 99999 – 3250 = 96749
72532 + 96749 = 169281 (Elde 1 var)
İşaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç 69281 + 1 = 69282 dir.
Örnek 2.99 (0,3267)10 sayısının 9 tümleyenini bulalım.
Sayının tam sayı ve kesirli kısmı bulunduğundan ilgili formül uygulanırsa;
rn-r-m –N = 100 - 10-4 - 0,3267
= 1-0,0001-0,3267
= 0,9999 - 0,3267 = 0,6732 değeri bulunur.
2.4.3 İkili Bir Sayının 'r-1' Tümleyeninin Bulunması
r tabanına göre verilen ve yalnızca tam sayı kısmı bulunan pozitif bir
n sayısının 'r-1' tümleyeni;
n basamaklı tam sayı ve m basamaklı kesirli kısmı bulunan bir sayının 'r-1' tümleyeni;
2n -2 -m - N
formülü ile bulunabilir.
Örnek 2.100 (0,0110)2 sayısının 1 tümleyenini bulalım.
İkili sistemdeki sayıda tamsayı kısmı bulunmadığından n = 0 ve kesirli kısım 4 basamaklı olduğundan m = 4’ dür. İlgili formülün uygulanması ile sonuç;
(2n- 2-4 - 0,0110) = (1 - 0,0001 - 0,0110)
= (0,1111 - 0,0110)2
= (0,1001)2
olarak bulunur.
Örnek 2.101 (110,1011) sayısının sonucunu 1 tümleyenini kullanarak bulunuz.
r = 2, n = 3, m = 4 olduğundan 1 tümleyeni;
23- 2-4 – 110,1011
= 1000 – 0,0001 – 110,1011 = 001,0100 olarak bulunur.
Örnek 2.102 (1010100)2 - (1000100)2 sayısının sonucunu 1’in tümleyenini kullanarak bulunuz.
(1000100)2 sayısının 1 tümleyeni 0111011
1010100 + 0111011 = 10001111 (İşaret biti 1)
İşaret biti 1 olduğundan sonuç 0001111 + 1 = 0010000 olarak bulunur.
2.4.4 Onlu Sayıların 'r-1' Tümleyeni Yöntemi ile Çıkarılması
Örnek 2.103 M = 72532, N = 03250 ise ‘M-N’ işlemini ‘r-1’ tümleyenine göre yapalım.
İşlemi yapabilmek için önce çıkarılan sayının r-1 tümleyeninin bulunması gerekir. Bulunan bu değer ile ‘M’ sayısı toplanır.
N’nin 9 tümleyeni ===> 96749
(taşma işareti biti) ==>
72532 96749 +________ 1 69281
İşaret biti ‘1’ olduğundan sonuca ‘1’ eklenir. Bu durumda,
|
|
69281
1
+________
69282 |
|
|
2.4.5 r. Tümleyen (komplementer)
R tabanlı bir sayı sisteminde, n basamaklı pozitif bir tamsayı N ile temsil edilirse, N sayısının r tümleyeni rn-N (N=0) olarak tanımlanabilir.
2.4.6 Onlu bir sayının r tümleyeninin bulunması
Onlu bir sayının r tümleyinini bulurken yine şu formülden yararlanılır; rn-N (N≠0)
Örnek 2.104 (52520)10 sayısının 10 tümleyenini (r tümleyenini) bulalım.
Verilen sayıda basamak sayısı: n = 5 ve taban: r= 10 olarak alınır.
Sonuç olarak; 105-52520 = 47480 sayısı bulunur.
Örnek 2.105 (0.3267)10 sayısının 10 tümleyenini (r tümleyenini) bulalım.
Verilen sayıda tam sayı kısmı bulunmadığından basamak sayısı; 10n = 100= 1 olarak alınır
Sonuç olarak; r0-N = 1-0.3267 = (0.6733)10 sayısı bulunur.
Örnek 2.106 (25.639)10 sayısının 10 tümleyenini bulalım.
Tam sayı kısmı 2 basamaklı olduğundan sayının ‘r’ tümleyeni;
r=10, n=2 ve N=25.639 değerleri ile rn - N = 102-25.639 = (74.361)10 olarak bulunur.
2.4.7 İkili bir sayının 2' ye tümleyeninin bulunması
İkili sayı sistemindeki bir sayının 2 tümleyenini bulmanın en kolay yolunun; sayıya sağdan bakarak ilk 1’e kadar olan sayıları olduğu gibi bırakmak (1 dahil), diğer bitlerdeki değerlerin tersini almak (1 ise 0, 0 ise 1 yazmak) olduğu söylenebilir. r tümleyeni, bütün sayı sistemleri için yukarıda verilen eşitlikten çıkartılabilir. Burada açıklanan 10 ve 2 tümleyenleri, en çok karşılaştığımız sayı sistemleri olduklarından detaylandırılmıştır.
Örnek 2.107 (101100)2
sayısının 2 tümleyenini bulalım.
Sayı ikili sistemde olduğundan, r=2 ve sayı 6 basamaklı olduğundan n=6
değerleri bulunur.
Bu değerler formülde yerine konulursa, verilen ikili sayının ‘r’ tümleyeni
olarak; (26) - (101100)2 = (1000000 - 101100)2 = 010100 değeri bulunur.
Örnek 2.108
(0.0110)2 sayısının 2 tümleyenini bulalım.
Verilen ikili sistemdeki sayının tam sayı kısmı bulunmadığından; sayının 2
tümleyeni; 20-N= 1 - 0.0110 = (0.1010)2 olarak bulunur.
Not: Binary sayılarda kolay bir yöntem olarak 2' ye tümleyen, 1'e tümleyene "1" eklenerek elde edilebilir. 2' ye tümleyen = 1'e tümleyen +1
2.4.8 1' e - Tümleyenle Çıkarma İşlemi
Bir Binary (ikilik) sayının 1. Komplementeri basitçe her bir bitin tersinin alınması ile bulunur. İki Binary (İkilik) sayıyı 1.Tümleyen (komplementer) yardımı ile çıkarmak için;
a) Çıkan sayının 1. Tümleyen (komplementer)i bulunur. 1. Tümleyen (komplementer) bulunurken çıkan sayı ile çıkarılan sayının basamak sayısının eşit olması gerekir.
b) Çıkarılan sayı ile çıkan sayının 1. Tümleyen (komplementer)i toplanır.
c) En büyük değerlikli basamakta elde 1 oluşursa bu işlem sonucunun pozitif olduğu anlamına gelir.
d) Doğru sonuca ulaşmak için elde 1 buradan alınarak en küçük değerlikli basamakla toplanır.
e) Eğer elde 1 oluşmamışsa sonuç negatiftir doğru cevabı bulmak için sonuç terslenerek yazılır.
Örnek 2.109 Aşağıdaki iki Binary (İkilik) sayıyı 1. Tümleyen (komplementer) yardımı çıkarın.
(11001)2
(10011)2
-________ |
Çıkan sayının 1.Tümleyeni |
(10011)2 ==>(01100)2 | |
(11001)2
(01100)2
+________
(100101)2 |
|||
|
Eğer elde 1 olmuşsa sonuç pozitiftir ve gerçek sonuç eldenin en sağındaki basamağa eklenmesi ile bulunur. | ||
+________
(00110)2 |
|||
Örnek 2.110 Aşağıdaki iki Binary (İkilik) sayıyı 1. Tümleyen (komplementer) yardımı çıkarın.
(1001)2
(1101)2
-________ |
Çıkan sayının 1.Tümleyeni |
(1101)2 ==>(0010)2 | |
(1001)2
(0010)2
+________
(1011)2 |
|||
|
Eğer elde 1 oluşmamışsa sonuç negatiftir ve gerçek sonuç çıkan sonucun tereslenmesiyle ile bulunur. | ||
-(0100)2 |
|||
Örnek 2.111 (15)10 - (20)10 işlemini 1 tümleyenine göre yapalım.
Sayılar onlu sistemde verildiğinden, sayıların ikili sisteme dönüştürülmesi
gerekir. Sayılar ikili sisteme dönüştürülür ve çıkarılan sayının ‘1’ tümleyeni
alınarak toplama işlemi yapılırsa;
(15) = 01111 ====> 01111
(20) = 10100 ====> 01011
+_______
0 11010
Bulunan sayının 1 tümleyeninin alınması ile sonuç;
(-00101)2olarak bulunur.
2.4.9 2' ye - Tümleyenle Çıkarma İşlemi
Binary sayının 2. Tümleyeni o sayının 1. Tümleyene 1 eklenerek bulunur.
2.Tümleyen = 1. Tümleyen +1
İki Binary sayıyı 2. Tümleyen yardımı ile birbirinden çıkarmak için;
a) Çıkan sayının 2. Tümleyeni bulunur. Çıkan sayı ile çıkarılan sayının basamak sayıları eşit olmalıdır.
b) Çıkarılan sayı ile çıkan sayının 2. tümleyeni toplanır.
c) Eğer toplama işlemi sonucunda en yüksek değerlikli basamakta bir elde oluşmuşsa çıkan sonuç pozitiftir, elde atılarak gerçek sonuca ulaşılır.
d) Toplam sonucunda bir elde oluşmamışsa sonuç negatiftir. Çıkan sonucun tersi alındıktan sonra 1 eklenerek gerçek sonuca ulaşılır.
Örnek 2.112 Aşağıdaki iki Binary (İkili) sayıyı 2. Tümleyen yardımı çıkarın.
(11001)2 (10011)2 ===>Birinci Tümleyen Komplementer -________===> 10011 ===>01100 1 +_____ 2.Tümleyen 01101(11001)2 (01101)2 +________ (100110)2(00110)2
Eğer elde 1 olmuşsa sonuç pozitiftir ve gerçek sonuç eldenin atılması ile bulunur. +_______ (00110)2
Örnek 2.113 (219)10 - (233)10 işlemini ‘2 tümleyeni’ yöntemiyle yapalım.
(219)10 = (11011011)2 11011011
(233)10 = (11101001)2 2 tümleyeni + 00010111
elde yok 0 11110010
Bulunan sayının 2 tümleyeni alınırsa sonuç ;
(-1110)2 olarak bulunur.
Örneklerden söyle bir sonuç çıkarılabilir: r tümleyeni ile çıkarma işleminde
işaret biti olarak adlandırılan bite bakılır. İşaret biti ‘1’ ise sonucun (+), işaret biti ‘0’ ise sonucun (-) olduğu bulunur. İşlem buna göre sonuçlandırılır.
2.4.10 Onlu Sayıların '10' Tümleyeni Yöntemi ile Çıkarılması
Örnek 2.114 10 tümleyenini kullanarak, (72532 – 3250) işlemini yapalım.
M = 72532 |
72532
96750
+________
elde 1 ┤69282 |
N = 03250 ===>10 tümleyeni N=96750 |
|
|
İşaret biti 1’dir ve bu durumda sonuç; (+69282) olarak bulunur.
Örnek 2.115 10 tümleyenini kullanarak, (3250-72532) işlemini yapalım.
|
N = 3250 |
03250 27468 +________ 0 ┤30718 |
|
M = 72532 ===>10 tümleyeni M=27468 |
|
|
|
|
|
Bu durumda 30718 sayısının ‘r’ tümleyeni alınır. Sonuç = -69282 olarak bulunur. |
|
2.4.11 Hexadecimal Sayılarda Tümleyen Yöntemi ile Çıkarma
Hexadecimal sayılar 15. ve 16. olmak üzere iki adet tümleyen (komplementer)' e sahiptir. Bu iki Tümleyen (komplementer) yardımı ile çıkarma işlemi gerçekleştirmek için;
a) Hexadecimal Sayının 15. Tümleyen (komplementer)' i her basamağın " F"sayısından çıkarılmalı.
b) Hexadecimal Sayının 16. Tümleyen (komplementer)' i 15. Tümleyen(komplementer)' e 1 eklenerek, Hexadecimal sayıların Komplementerleri bulunur.
Örnek 2.116 Aşağıda verilen Hexadecimal sayının 15. Komplementerini bulunuz.
Örnek 2.117 Aşağıda verilen hexadecimal sayının 16. Komplementerini bulunuz.
Hexadecimal (Onaltılı) sayıları Tümleyen yardımıyla çıkarmak için;
1) Çıkan sayının 15. veya 16. Tümleyeni bulunur.
2) Ana sayı ile çıkan sayının 15. veya 16. Tümleyeni toplanır.
3) Toplam sonunda bir elde oluşmuşsa sonuç pozitiftir;
a) İşlem 15. Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa oluşan elde en sağdaki basamak ile toplanarak gerçek sonuca ulaşılır.
b) İşlem 16. Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa oluşan bu elde dikkate alınmaz.
4) Toplam sonunda bir elde oluşmamışsa sonuç negatiftir;
a) İşlem 15. Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa gerçek sonuç, toplam sonucunun 15. Tümleyeni (komplementer)dir.
b) İşlem 16. Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa gerçek sonuç, toplam sonucunun 16. Tümleyeni (komplementer)dir.
Örnek 2.118 Aşağıda verilen Hexadecimal (Onaltılı) sayıları tümleyen (komplementer) yardımıyla çıkarınız.
( 7 8 4 )16
_ ( 6 2 A )16
___________
(
)16
Çözüm: Bu işlem için öncelikle hangi tümleyen (komplementeri) kullanacağımıza karar vermeliyiz. Bu işlem için 15. tümleyen (komplementeri) kullanalım.
Bir sonraki işlem olarak ana sayı ile çıkan sayının 15. Tümleyenini (komplementer) toplayalım.
Oluşan bu elde, sonucun pozitif olduğunu gösterir. 15. tümleyen
(komplementer) kullandığımızdan gerçek sonuç toplam sonucuna bu eldenin eklenmesi ile
bulunur.
